Für jeden eigentlichen (bzw. Beweis . De nition 6.2 Eine komplexe (oder auch reelle) Folge fa ... ( Folgerung: konvergente Folgen sind beschr ankt! ) Ein mit dem Grenzwert einer Folge eng verwandter Begriff ist der Die Definition des Grenzwertes verlangt also, dass in jeder Umgebung des Grenzwertes ab einem gewissen Index alle Folgenglieder liegen; die Definition des Häufungspunktes verlangt lediglich, dass in jeder Umgebung unendlich viele Folgenglieder liegen. Die oben angegebenen Rechenregeln folgen damit direkt aus der Stetigkeit der Addition, Subtraktion, Multiplikation und, falls der Nenner ungleich Null ist, Division. Cauchy-Folgen wurden daher früher auch als „in sich konvergente Folgen“ oder „konzentrierte Folgen“ bezeichnet. Rechenregeln für konvergente Folgen Einerseits teilt der Konvergenzbegriff alle Folgen in zwei Sorten auf: die konvergenten und die nicht konvergenten. Konvergenz monotoner Folgen: zur Frage 3 Abb. Eine nicht konvergierende Folge heißt ” divergent“. Sätze über konvergente Zahlenfolgen .

Dies bedeutet, dass in jeder Umgebung des Grenzwerts fast alle Folgenglieder liegen. Insbesondere bildet in metrischen Räumen die Menge In allgemeinen topologischen Räumen gilt diese Charakterisierung abgeschlossener Mengen als Grenzwerte von Folgen nicht, dort müssen statt Grenzwerten von Folgen Grenzwerte verallgemeinerter Folgen, sogenannter In allgemeinen topologischen Räumen kann es auch sein, dass eine Folge mehrere Grenzwerte hat. Nicht jede Folge die Konvergent ist, ist auch Beschränkt! Aus der Konvergenz dieser Summe folgt nämlich, dass für jedes Dieser Grenzwertbegriff beinhaltet den Grenzwert einer Zahlenfolge und den Grenzwert einer Folge von Elementen eines metrischen Raumes als Spezialfälle. In den reellen Zahlen gilt auch die Umkehrung: Ist die Funktion Bei der oben angegebenen Definition der Konvergenz wird der Grenzwert Ebenso konvergiert eine monoton fallende und nach unten beschränkte Folge. Eine Folge, die gegen Null konvergiert, heißt Nullfolge. Es gibt allerdings auch Kriterien, mit denen die Konvergenz einer Folge nachgewiesen werden kann, ohne dass der Grenzwert bekannt ist: siehe Hinweis 2: Die (durch die Häufigkeit ihrer Benutzung) auffällige Bezeichnung „kleiner“ Zahlen durch den Buchstaben Diese Aussage ergibt sich direkt aus der Definition anhand eines Mit dieser Schreibweise lässt sich die Definition des Grenzwertes einer Folge verkürzen: Wenn nichts anderes dazugesagt wird, werden aber üblicherweise Grenzwerte über den reellen Zahlen betrachtet, da diese für die meisten Anwendungen das geeignetere Modell sind. Merke: f¨ur Konvergenz ist … Allquantoren. Bemerkung 2.6: Die Aussage ” fur alle¨ n ≥ N( )“ impliziert, dass nur ” hinrei-chend große Indizes n“ betrachtet zu werden brauchen.

Folgen, die gegen null konvergieren, wie ebendieses Beispiel Mit Hilfe dieser Rechenregeln lassen sich in vielen Fällen aus bekannten Grenzwerten einfach weitere Grenzwerte berechnen.

Folgen 7.11 Eindeutigkeit des Grenzwertes 7.13 Vergleichssatz 7.14 Sandwich-Satz 7.18 Rechenregeln f˜ur konvergente Folgen 7.20 Umordnung von Folgen, Teilfolgen Der Begrifi der Konvergenz ist der zentrale Begrifi der Analysis. 3: Graphische Darstellung der ersten Glieder der Folge an = −0.9 n 1, lim n ∞ an = 0 Die konvergente Folge ist nicht monoton. Erstens können Folgen in Topologien, die das Oft weiß man nicht von vornherein, z. uneigentlicher) Häufungspunkt der Folge. Beschränkte Folgen erklärt.

Dies bedeutet einfach, dass es irgendwann eine Zahl k gibt; die immer größer oder gleich dem größten Betrags-Wert der Folge ist. Insbesondere konvergiert eine beschränkte und monoton wachsende (monoton fallende) Folge gegen ihr Supremum .